Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa![]() | |
Dystrybuanta![]() | |
Parametry | parametr położenia (liczba rzeczywista) |
---|---|
Nośnik |
|
Gęstość prawdopodobieństwa |
|
Dystrybuanta |
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
|
Mediana |
|
Moda |
|
Wariancja |
|
Współczynnik skośności |
|
Kurtoza |
|
Entropia |
|
Funkcja tworząca momenty |
|
Funkcja charakterystyczna |
|
Rozkład logistyczny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.
Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną[1]:
wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:
oraz
Symetria
Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej który jest jednocześnie medianą rozkładu.
Kwantyle
Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:
Zastosowanie
Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.
Przykład
Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata². Można więc zapisać
- oraz
Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:
A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.
Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.
Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym ) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.
Przypisy
- ↑ krzywa logistyczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Logistic Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].
Logistic distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].
- p
- d
- e
Rozkłady ciągłe | |
---|---|
Rozkłady dyskretne |