Zbiór generatorów grupy
Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).
Ogólniej, jeżeli jest podzbiorem grupy to podgrupa generowana przez , oznaczana symbolem jest najmniejszą podgrupą grupy zawierającą każdy element zbioru czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy [a]. Równoważnie to podgrupa tych wszystkich elementów które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów i ich odwrotności[b].
Gdy to mówi się, że generuje Elementy nazywa się wtedy generatorami grupy Jeśli jest zbiorem pustym, to jest grupą trywialną
Jeśli zawiera tylko jeden element to zwykle pisze się (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku jest podgrupą cykliczną potęg która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grupa ta jest generowana przez O tym, że generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż jest równe całej grupie Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż ma rząd równy
Grupy skończenie generowane
W przypadku, gdy zbiór jest skończony, grupę nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).
- Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ
- Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1, jak i –1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli i są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta
- Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.
- Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
- Gdy jest grupą skończenie generowaną oraz jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa jest również skończenie generowana.
- Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład niech oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, i oraz niech będzie podzbiorem składającym się ze wszystkich elementów postaci gdzie jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.
Grupy wolne
Osobny artykuł: grupa wolna.
Podgrupa Frattiniego
Osobny artykuł: podgrupa Frattiniego.
Element grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór zawierający dalej generuje jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w nazywaną podgrupą Frattiniego.
Przykłady
Grupa elementów odwracalnych to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z względem mnożenia modulo tzn. liczb ze zbioru z arytmetyką modulo Siódemka nie jest generatorem gdyż
podczas gdy dwójka jest, ponieważ
Z drugiej strony, dla grupa symetryczna stopnia nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje oraz Przykładowo dla jest:
Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, Element nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy dla odmiany generuje tę grupę, gdyż (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).
Zobacz też
- graf Cayleya
- zbiór generatorów dla innych struktur
- prezentacja grupy
Bibliografia
- Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Group Generators, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Uwagi
- ↑ Niech będzie najmniejszą podgrupą zawierającą zaś oznacza zbiór podgrup zawierających Wówczas Istotnie, jest podgrupą zawierającą czyli a więc z drugiej strony część wspólna rodziny podgrup jest podgrupą, czyli jest podgrupą zawierającą a skoro jest najmniejszą podgrupą zawierającą to
- ↑ Niech będzie najmniejszą podgrupą zawierającą Jako podgrupa musi zawierać (wprost z definicji) wraz z każdym także a ponadto wszystkie skończone iloczyny elementów (i należące do tego zbioru odwrotności). Z drugiej strony, na mocy kryterium bycia podgrupą, skończone iloczyny elementów i ich odwrotności są podgrupą w gdyż (a) dla będącymi takimi iloczynami wynika, że ich iloczyn również jest tej postaci, (b) dla będącego skończonym iloczynem elementów i ich odwrotności element jest także skończonym iloczynem elementów i ich odwrotności.