Grupo trivial

Em matemática, um grupo trivial, grupo identidade ou grupo zero é um grupo que contém um único elemento. Todos esses grupos são isomorfos, por isso frequentemente se fala do grupo trivial. O único elemento do grupo trivial é o elemento identidade e geralmente é denotado como: 0, 1 ou ${\displaystyle e}$, dependendo do contexto — isto é, da representação. Se a operação do grupo é denotada por ${\displaystyle \cdot }$, então ela é definida por ${\displaystyle e\cdot e=e}$.

O grupo trivial é o único grupo (considerando isomorfismos) contendo exatamente um elemento ${\displaystyle e}$, o elemento identidade. Exemplos incluem o grupo zero (que é o conjunto unitário ${\displaystyle \{0\}}$ com respeito à estrutura do grupo trivial definida pela adição ${\displaystyle 0+0=0}$), o grupo multiplicativo ${\displaystyle \{1\}}$ (onde ${\displaystyle 1\cdot 1=1}$), o grupo pontual ${\displaystyle C_{1}}$ e os inteiros módulo 1 sob adição. Quando visto como um grupo de permutação em ${\displaystyle p}$ letras, o grupo trivial ${\displaystyle E_{p}}$ consiste num único elemento que fixa cada letra.^[1]

O monóide trivial, definido de forma semelhante, também é um grupo, pois seu único elemento é seu próprio inverso, sendo, portanto, o mesmo que o grupo trivial.

O grupo trivial é abeliano e cíclico. A tabela de multiplicação para ${\displaystyle \langle e\rangle }$ é dada abaixo:^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\langle e\rangle &1\\\hline 1&1\\\end{array}}}$

O grupo trivial tem a única classe de conjugação ${\displaystyle \{1\}}$ e o único subgrupo ${\displaystyle \{1\}}$.^[1]

O grupo trivial é distinto do conjunto vazio, que não tem elementos, portanto, carece de um elemento identidade, e por isso não pode ser um grupo.

Dado qualquer grupo ${\displaystyle G}$, o grupo consistindo apenas do elemento identidade é um subgrupo de ${\displaystyle G}$ e, sendo o grupo trivial, é chamado de subgrupo trivial de ${\displaystyle G}$.

O termo "${\displaystyle G}$ não tem subgrupos próprios não triviais" refere-se ao fato de os únicos subgrupos de ${\displaystyle G}$ serem o grupo trivial ${\displaystyle \{e\}}$ e o próprio grupo ${\displaystyle G}$.

O grupo trivial é cíclico de ordem 1; como tal, pode ser denotado ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$. Se a operação do grupo é chamada de adição, o grupo trivial geralmente é denotado por 0. Se a operação do grupo é chamada de multiplicação, então 1 pode ser uma notação para o grupo trivial. A combinação dessas operações leva ao anel trivial, no qual as operações de adição e multiplicação são idênticas e ${\displaystyle 0=1}$.

O grupo trivial serve como o objeto zero na categoria de grupos, o que significa que é tanto um objeto inicial quanto um objeto terminal.

O grupo trivial pode ser transformado em um grupo (bi-)ordenado ao equipá-lo com a ordem não estrita trivial ${\displaystyle \leq }$.

Referências

• Portal da matemática