Posto matricial
O posto (português brasileiro) ou característica (português europeu) de uma matriz (em inglês, "matrix rank") é o número de linhas não-nulas da matriz em causa, quando escrita na forma escalonada por linhas. Equivalentemente, corresponde ao número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. A característica de uma matriz tem várias implicações[quais?] em relação à independência linear e a dimensão de um espaço vetorial.
O posto de uma matriz pode ser encontrado através dos menores da matriz ou forma escalonada reduzida por linhas.
Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Nesta forma, é necessário que as matrizes tenham todo o elemento de uma linha que antecede o pivô como nulo. O pivô de uma matriz é quando a linha e a coluna tem o mesmo valor, ou seja, . [1]Seja uma matriz com dimensões :
Reduzindo à Forma Escalonada Reduzida por Linhas soma elementos da segunda linha com os elementos da primeira linha multiplicados por . Resultando:
Repetindo o mesmo processo de com a terceira linha, resulta-se:
Repetindo o mesmo processo transformando em 0, seja a matriz a matriz escalonada, tem-se:
.
O posto será o número de linhas que tem elementos diferente de 0 após o escalonamento. Se a matriz for quadrada, e o posto for igual ao número de linhas, então a matriz tem Posto Cheio (full rank). Resultando em uma matriz linearmente independente, e um dos pré-requisitos para a inversão de matriz.
Caso não seja possível por esse método, é recomendado utilizar outros métodos, como através do método de menor.
Característica de uma matriz
De acordo com o teorema de Kronecker, a característica de uma matriz B é c se e somente se:
- Existe pelo menos uma submatriz cujo determinante é diferente de zero.
- Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.
Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.
Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,
onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.
Literatura
- Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
- Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
- Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]
- Boldrini; Costa; Figueiredo; Wetzler Álgebra Linear, 3a edição, Editora Habra.
Ver também
- Álgebra linear
Portal da matemática
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- ↑ Boldrini, José Luiz; Costa, S. I. R.; Figueiredo, V. L.; Wetzler, H. G. (1984). Álgebra Linear 3ª ed. ed. São Paulo: Editora Habra. pp. e !CS1 manut: Texto extra (link)