Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.
Em física, em particular em aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes.
Esta definição de produto escalar pode ser referida como produto interno usual. Podemos ter uma outra definição tal qual se tenha um produto diferente do citado acima, desde que se respeitem os axiomas de produto interno.
Ainda no podemos escrever o produto interno numa forma matricial:
onde
De fato, podemos definir, para qualquer matriz de ordem 3x3, a seguinte função por e temos, assim, que é um produto interno se:
A Matriz A é positiva definida, ou seja, possui apenas autovalores positivos.
A Matriz A é simétrica.
Em alguns casos pode ser mais prático para provar se determinada operação é, ou não, produto interno.
Obs: no caso complexo, essas condições não são válidas. Uma condição necessária é que a matriz seja auto-adjunta, ou seja, ela deve ser igual à transposta da sua conjugada.
No espaço a função que associa a cada par de vetores u = e v = o número real:
é um produto interno.
De fato:
Onde A tem o termo o determinante é igual a 12 e a matriz é simétrica.
Se formos demonstrar, para todos os axiomas, teremos que este é um produto interno.
Se for o espaço das funções contínuas complexas com domínio a função dada por é um produto interno.
Propriedades
Num espaço vetorial com produto interno, é possível definir os conceitos de ortogonalidade, norma, distância e ângulo entre vetores.
Seja um espaço vetorial real ou complexo com produto interno.
Dizemos que dois vetores e de são ortogonais se, e somente se,
Se for um espaço vetorial real, da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos, para dois vetores e de que Podemos, então, definir o ângulo θ entre esses dois vetores por: ou simplesmente
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