Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci

${\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

(1) Jeżeli ${\displaystyle n}$ jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór^[1]:

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$

(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n-tego. Określa je wzór:

${\displaystyle z_{(k)}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\tfrac {1}{n}}{\Big [}\cos {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}{\Big ]},}$ ${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n-1\}}$ .

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku^[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska^[3].

W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:

${\displaystyle z=|z|\cdot e^{i\phi }}$ - postać wykładnicza liczby zespolonej,

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\cdot e^{in\phi }}$ - potęga n-ta liczby zespolonej,

${\displaystyle z_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot k)/n},\ k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ - pierwiastki n-te liczby zespolonej.

Dla ${\displaystyle n=1}$ wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla ${\displaystyle n=k,}$ tzn.

${\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).}$

Wówczas dla ${\displaystyle n=k+1}$ dostaniemy

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}}$

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego ${\displaystyle n.}$

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

${\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.}$

Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego

${\displaystyle 1_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}_{(k)}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}$

Jeżeli liczbę zespoloną ${\displaystyle z}$ zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek n-tego stopnia ${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}}$ z liczby ${\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ jest zbiorem ${\displaystyle n}$ wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt ${\displaystyle \Delta \alpha =2\pi /n}$ na okręgu o środku w punkcie ${\displaystyle (0,0)}$ i promieniu ${\displaystyle R=|z|^{1/n}}$, przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem ${\displaystyle \phi _{0}=\phi /n}$.

Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby ${\displaystyle z=1}$ układają się na okręgu o promieniu ${\displaystyle R=1}$, ${\displaystyle \Delta \alpha =2\pi /5=72^{0}}$, ${\displaystyle \phi _{0}=\phi /n=0,}$ (gdyż ${\displaystyle \phi =0}$, ${\displaystyle |z|=1}$).

• liczba sprzężona
• pierwiastek z jedynki