Symbol funkcyjny
![]() | Ten artykuł od 2024-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.
W potocznym języku matematyki, symbole funkcyjne w wyrażeniach matematycznych oznaczają funkcje, np.: w wyrażeniu symbolem funkcyjnym jest w jest nim +, w są nimi oraz
Symbole funkcyjne i termy w logikach pierwszego rzędu
Wprowadzając język pierwszego rzędu najpierw określamy jego alfabet czyli zbiór symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych i stałych. Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).
Definiujemy termy języka przez indukcję po ich złożoności w następujący sposób:
- wszystkie stałe i zmienne są termami,
- jeśli są termami, i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to jest termem.
Różne ujęcia i oznaczenia
- W niektórych ujęciach rachunku kwantyfikatorów, stałe języka są traktowane jako 0-argumentowe symbole funkcyjne. Wówczas alfabet języka składa się jedynie z symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych, ale arność tych pierwszych może wynosić zero.
- W teorii modeli czasami jest wygodniej zakładać, że alfabet rozważanego języka nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych. Nie wprowadza to żadnego istotnego ograniczenia, bowiem każdy -arny symbol funkcyjny może być zastąpiony przez -argumentową relację tak że intuicyjny związek między nimi jest wyrażony przez
- wtedy i tylko wtedy, gdy
- (Wymaga to dodania do rozważanych teorii zdania wyrażającego własność predykatu że „pochodzi” on od pewnej funkcji.)
- W algebrze, dwuczłonowe symbole funkcyjne są zapisywane pomiędzy termami. Tradycyjnie piszemy więc (a nie ) itd.
Przykłady
- Język teorii grup to gdzie jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
- Język ciał uporządkowanych to gdzie są binarnymi symbolami funkcyjnymi, a jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
Interpretacje termów w modelu
Niech będzie alfabetem jakiegoś języka pierwszego rzędu i niech będzie zbiorem stałych tego alfabetu, będzie zbiorem symboli funkcyjnych, a będzie zbiorem symboli relacyjnych. Modelem języka nazywamy układ
gdzie:
- jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu (często uniwersum modelu oznacza się przez ),
- dla -arnego symbolu relacyjnego jest -argumentową relacją na zbiorze tzn.
- dla -arnego symbolu funkcyjnego jest -argumentowym działaniem na zbiorze tzn.
- dla stałej jest elementem zbioru
Tak więc w modelach danego języka symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje. Przez indukcję po złożoności termów definiujemy też interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów definiujemy następująco:
- Jeśli jest stałą alfabetu to
- Jeśli jest zmienną to
- Jeśli są termami i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
obraz |
| ||||||||||||||||||||||
przeciwobraz |
| ||||||||||||||||||||||
typy (rodzaje) |
| ||||||||||||||||||||||
pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych | |||||||||||||||||||||||
złożenie funkcji (superpozycja) |
| ||||||||||||||||||||||
struktury definiowane funkcjami | |||||||||||||||||||||||
inne powiązane pojęcia |
| ||||||||||||||||||||||
twierdzenia | |||||||||||||||||||||||
uogólnienia |
|