Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja[1].
Przykłady
- Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
- Równanie Abela
![{\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eeda1c17f90f0b1ea07ab275d3900a8b5a2f6ee)
- Równanie
spełniają funkcje addytywne. - Równania
oraz
spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste. - Znajdźmy wszystkie funkcje
dla których
- Podstawiając
otrzymujemy
czyli ![{\displaystyle f(0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3f237e89ebcbd24f17125497c63b4d3749dbf6)
- Niech
wówczas ![{\displaystyle 0=f(0)^{2}=f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f5502284ca9f9b9a20706fd6f59ab2738dbdda)
- Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość
jest spełniona dla każdego
Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest ![{\displaystyle f(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dccd79a10e741977d5bf9e89f815f6056a44120)
- Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki
jest ciąg ![{\displaystyle a_{n}=n!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5408989ebcdfe06c54cce1e712ceb1124ca1a198)
- Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.
Równanie Cauchy’ego
Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego
Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania
Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania
są funkcje liniowe
Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że
Zauważmy dalej, że
czyli
Niech teraz
Pokażemy, że równość
zachodzi, gdy
jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy
![{\displaystyle f(n)=f(\underbrace {1+\ldots +1} _{n})=\underbrace {f(1)+\ldots +f(1)} _{n}=an}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297a2352c7a505c73ce069431f7523f81b963e34)
dla każdego
Dalej
czyli
To oznacza, że
dla każdego
gdzie
oznacza zbiór liczb całkowitych.
Dalej mamy
![{\displaystyle a=f(1)=f{\Big (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}} _{n}{\Big )}=\underbrace {f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}+\ldots +f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c06189ad4278523e459c3b4539e6e764b76e5d)
co daje
Niech teraz
będzie dowolną liczbą wymierną.
Wówczas
![{\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}\right)=f{\bigg (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}} _{m}{\bigg )}=\underbrace {f\left({\frac {1}{n}}\right)+\ldots +f\left({\frac {1}{n}}\right)} _{m}=a\cdot {\frac {m}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f7e10e7e0a251809d65455658f34edde8f8701)
Zatem równość
została pokazana dla każdej liczby wymiernej
Z ciągłości funkcji
wynika równość
dla każdej liczby rzeczywistej
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania
Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania
są funkcje wykładnicze
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania
Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania
są funkcje logarytmiczne
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania
Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania
są funkcje potęgowe
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania
Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania
są funkcje cosinus
i cosinus hiperboliczny
Przypisy
- ↑ równania funkcyjne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .
Bibliografia
- J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
- J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1960.
- J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
- G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
- D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
- M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.
- LCCN: sh85052317
- NDL: 00564961
- BnF: 11979437x
- BNCF: 2924
- NKC: ph120401
- J9U: 987007553158205171