Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Dalam matematika, barisan aritmetika-geometrik adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-
dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-
dari barisan aritmetika dengan suku ke-
dari barisan geometrik.[1] Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.
Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum
![{\displaystyle u_{n+1}=r\,u_{n}+cr^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75ef83d495157543d31031b637e65fe02a165c8)
untuk suatu nilai
dan
. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.
- Jika
, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika - Jika
, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik
Suku barisan
Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal
dan beda
, dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal
dan rasio
. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=\color {blue}{a}\color {red}{k}\\u_{2}&=\color {blue}{(a+b)}\color {red}{(kr)}\\u_{3}&=\color {blue}{(a+2b)}\color {red}{(kr^{2})}\\&\vdots \\u_{n}&=\color {blue}{(a+(n-1)b)}\color {red}{(kr^{n-1})}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e667c92eb1166d41a6af5286e319e9ded4349de8)
Contoh
Sebagai contoh, barisan
![{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {red}{2}}},\,{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {red}{4}}},\,{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {red}{8}}},\,{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {red}{16}}},\,{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {red}{32}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc188ea2232cee701aa5209f6d71d96e077609f)
dapat dikonstruksikan dengan memilih
dan
.
Jumlahan berhingga
Jumlahan
suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ak-(a+nd)\,kr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b26b7e14b35a8f00113b5fb1f6b1a0ea6597aa)
Bukti
Deret Teleskopik
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan
, dengan indeks
menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi
untuk menyatakan suku ke-
dari barisan aritmetika, dan notasi
untuk menyatakan suku ke-
dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa
dan
, perhatikan bahwa
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&A_{2}\,G_{2}&+&A_{3}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n}\,G_{n}&&&\\rS_{n}&=&{\phantom {A_{1}\,G_{1}}}&+&A_{1}\,G_{2}&+&A_{2}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n-1}\,G_{n}&+&A_{n}\,G_{n+1}&-\\\hline (1-r)\,S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&b\,G_{2}&+&b\,G_{3}&+&\ldots &+&b\,G_{n}&-&A_{n}\,G_{n+1}&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb14e4a148af8cebcd259f44a01db3ce8726619)
Sehingga diperoleh
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\,S_{n}&=A_{1}\,G_{1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}-A_{n}\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}-b\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}+b\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-\left(A_{n}+b\right)\,G_{n+1}+b\left(G_{2}+G_{3}+\,\ldots \,+G_{n}+G_{n+1}\right)\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}+b\cdot {\frac {G_{2}-G_{n+2}}{1-r}}\\S_{n}&={\frac {A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\left(G_{1}-G_{n+1}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04151e62215074e3ba06d810c41722c70aaf5295)
Oleh karena
dan
, maka rumus
di atas dapat ditulis ulang sebagai
![{\displaystyle S_{n}={\frac {ak-(a+nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6460725856b2966f699503934b40f4da8e97ff2)
Penjabaran Langsung
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan
, dengan indeks
menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa
dapat dituliskan sebagai
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
Dengan menuliskan
menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai
diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ak\left(1+r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+\,\ldots \,+bkr^{n-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r^{2}-r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+bk\cdot {\frac {r^{n-1}-r^{n}}{1-r}}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{n}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n}}{1-r}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c9d44ecaf5fbcaa9bb6193fa67173e759bf727)
Kalkulus Diferensial
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan
, dengan indeks
menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}A_{i}\,G_{i}\\&=\sum _{i\,=\,1}^{n}(a+(i-1)b)(kr^{i-1})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}(a+ib)(kr^{i})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}akr^{i}+\sum _{i\,=\,0}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\sum _{i\,=\,0}^{n-1}r^{i}+(0)bkr^{0}+\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ir^{i-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left(\sum _{i\,=\,1}^{n-1}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bkr\,\left({\frac {1}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{(1-r)^{2}}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e90eff4890b816217df293e3b451c3261984f9)
yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.
Deret takhingga
Jika
, maka
akan mendekati
apabila nilai
cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan
) ialah[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }S_{n}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }{\frac {ak}{1-r}}-\underbrace {\frac {(a+nb)(kr^{n})}{1-r}} _{{\text{mendekati }}0}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {ak}{1-r}}+{\frac {bkr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}\,G_{1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\,G_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f49e7da143c275a25d0120e052a261f2e355ae0)
Jika
berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk
- Deret divergen menuju
, saat
, atau saat
(dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta
dan
- Jika
dan
, semua nilai suku nya akan menjadi
, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
- Deret selang-seling, saat nilai
![{\displaystyle r\leq -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab14f4a30606feb3351215683425d20dedef18b6)
Tangga Jibril
Jika
dan
, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan tangga Jibril:[3][4]
![{\displaystyle \sum _{i\,=\,1}^{\infty }ir^{i}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\qquad {\text{dengan }}\,0<r<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085a8773c9600f4f3b276e4669b1cffbe09b862d)
Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan
Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah
. Apabila
menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah
lemparan, maka diperoleh
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeaa0687f40d4134f5189d4f0b84b78a7a67b7ee)
Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan
![{\displaystyle E(X)=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }k\cdot P(X=k)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dd956185639c55c2c7fbf281478a8731bbf8bf)
yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan
dan
. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke
Referensi
- ^ "Arithmetic-Geometric Progression" [Barisan Aritmetika-Geometrik]. brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-04-21.
- ^ a b K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering
[Metode matematis untuk fisika dan teknik] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-3rd). Cambridge University Press. hlm. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. - ^ Swain, Stuart G. (2018). "Proof Without Words: Gabriel's Staircase" [Bukti Tanpa Kata: Tangga Jibril] (PDF). Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 67 (3): 209–209. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214. ISSN 0025-570X.
- ^ Edgar, Tom (2018). "Staircase Series" [Deret Tangga]. Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 91 (2): 92–95. doi:10.1080/0025570X.2017.1415584. ISSN 0025-570X.
Bacaan lanjutan
- D. Khattar. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition) [Panduan Matematika dari Pearson untuk Seleksi Bersama Masuk Institut Teknologi India, 2/e (Edisi Baru)] (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. hlm. 10.8. ISBN 81-317-2876-5.
- P. Gupta. Comprehensive Mathematics XI [Matematika Komprehensif XI] (dalam bahasa Inggris). Laxmi Publications. hlm. 380. ISBN 81-7008-597-7.