Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Kaidah pendiferensialan (atau aturan pendiferensialan; bahasa Inggris: Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.
Kaidah dasar pendiferensialan
Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik[1][2]— termasuk bilangan kompleks (C).[3]
Pendiferensialan adalah linier
Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis
![{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6620059fcd256a867ad11e0f5120fe8aac6bcdb6)
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
![{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3f255787b72a28436cfc8a3478a88d6d7d5917)
Kasus-kasus khusus meliputi:
![{\displaystyle (af)'=af'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741214cc18f69c726c92473dc514a8e21402ca2e)
![{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97322bf694a1cc09b2eed3f16077b48e223d6e36)
![{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced201bf17e2d77efe4d369bd72251e229a8181a)
Kaidah hasil kali
Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis
![{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f03a67486552bc1f7f52a88f7cc065e29f411a)
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
![{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284a4f957b824cc30ee7d8722af4f6a0462f230b)
Kaidah rantai
Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis
![{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40586c7fda57dd16be47b6a066885c00de37c4c4)
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
![{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91270b4881686347a49730e725d9606d083c161)
Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
![{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece888efe0d3b7e835394b7330346738fda52cd8)
Kaidah fungsi inversi
Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka
![{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f688dc25b86dbc450cec0d10aedad583f60e77)
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb027b717f777d6028d963dc86342ba3a49f8f7)
Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik
Kaidah pangkat polinomial atau elementer
Jika
, untuk bilangan bulat n apapun maka
![{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e238bd6d67efc96201bc9181f57f83b6b46ef89)
Kasus-kasus khusus meliputi:
- Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
- jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
- Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.
Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.
Kaidah timbal-balik
Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:
![{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abff544bca23b32a9750d375cc6cc3ee648b7356)
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
![{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef9ce1df5dd2bec6179ed1e8012ca226699f06e)
Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).
Kaidah hasil bagi
Jika f dan g adalah fungsi, maka:
di mana g bukan nol.
Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.
Kaidah pemangkatan yang dirampat
Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,
![{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f1011d5a13b122f7968669a7178e201d1a27a1)
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.
Kasus-kasus khusus:
- Jika f(x) = xa, f′(x) = axa − 1 bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
- Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.
Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987c82f3a502f7c3f784f33f4c270377a834fc50)
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8291ce656af093027c88276e761f4634455f4c)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7d8d5be70b8858e655f1f25ca058f135ea417a)
persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4520e837688ef53d64e823048e3bfd236d9e3bbf)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4802a2435ac0ddd3d1900bf959090b49256b52b0)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1895546a3efac9f88d2743606898b1820c57f3c6)
Turunan logaritmik
Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
wherever f is positive.
Turunan fungsi trigonometri
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen,
. Nilainya terletak dalam rentang
dan mencerminkan kuadran dari titik
. Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu
) maka
. Turunan parsialnya adalah
, and |
Turunan fungsi hiperbolik
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Turunan fungsi-fungsi khusus
- Fungsi gamma
![{\displaystyle =\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f8673920cdbaaf14f80df5deb99e8a4ffbcbdb) | |
- Fungsi Riemann Zeta
![{\displaystyle =-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5519b168c3c40beb636e3a424303c561ac92de73) |
Turunan integral
Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi
![{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405156f2059687b8afdfdc90403ba4b8711f784a)
di mana fungsi-fungsi
dan
keduanya kontinu dalam
dan
dalam wilayah tertentu bidang
, termasuk
, dan fungsi-fungsi
dan
keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk
. Maka untuk
:
![{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bde7b7a93124df4bd85f35585179cdf3647b66)
Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan Teorema fundamental kalkulus.
Turunan ke-n
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:
Rumus Faà di Bruno
Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db9fc6a48b3658dc330625f3c027300228b82b0)
di mana
dan himpunan
terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine
.
Kaidah Leibniz umum
Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)
Lihat pula
Referensi
- ^ Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
- ^ Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
- ^ Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
Sumber dan pustaka tambahan
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
- Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
- The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
- Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
- NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.
Pranala luar
Sumber pustaka mengenai Differentiation rules
|
- Sumber di perpustakaan Anda
|
- Derivative calculator with formula simplification
- A Table of Derivatives Diarsipkan 2012-10-31 di Wayback Machine.
Pengawasan otoritas ![Sunting ini di Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
---|