Integral garis

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang suatu lintasan.^[1] Istilah integral kontur juga digunakan, walau istilah tersebut lebih sering digunakan untuk Integral garis pada bidang kompleks.

Fungsi yang akan diintegralkan dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlahan dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya panjang busur, atau pada medan vektor, darab bintik dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu selang. Banyak rumus sederhana dalam fisika (seperti definisi usaha ${\displaystyle W=F\cdot s\cdot \cos \theta }$) memiliki versi kontinu dalam bentuk integral garis (dalam kasus ini, ${\displaystyle W=\int _{L}{\vec {F}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$ menghitung besar usaha yang dilakukan suatu benda yang bergerak dalam medan listrik atau medan gravitasi ${\displaystyle {\vec {F}}}$ pada lintasan ${\displaystyle L}$).

Secara kualitatif, integral garis pada kalkulus vektor dapat dipandang sebagai suatu ukuran efek keseluruhan dari suatu medan tensor di sepanjang lintasan tertentu. Sebagai contoh, integral garis pada medan skalar (tensor rank 0) dapat diartikan sebagai luas daerah dibawah medan yang diukir oleh suatu lintasan. Hal ini dapat divisualkan sebagai permukaan yang dibentuk oleh fungsi ${\displaystyle z=f\!\left(x,\,y\right)}$ dan suatu lintasan ${\displaystyle L}$ pada bidang-xy. Melalui visualisasi ini, nilai integral garis dari ${\displaystyle f}$ ialah luasan dari "tirai" yang tercipta ketika titik-titik pada permukaan yang tepat di atas ${\displaystyle L}$ diukir.

Diberikan suatu

1. Bilangan asli ${\displaystyle n}$
2. Himpunan ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, dan
3. Medan skalar ${\displaystyle f\colon H\to \mathbb {R} }$

Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset H}$ didefinisikan sebagai $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f\!\left({\vec {r}}\right)\,{\text{d}}s=\int _{a}^{b}f\!\left({\vec {r}}(t)\right)\left|{\vec {r}}'(t)\right|\,{\text{d}}t}$$ dengan ${\displaystyle {\vec {r}}\colon \left[a,\,b\right]\to {\mathcal {C}}}$ adalah sembarang fungsi parameter yang bersifat bijektif dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle {\vec {r}}(a)}$ dan ${\displaystyle {\vec {r}}(b)}$ adalah ujung dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dan ${\displaystyle a<b}$. Pada keseluruhan artikel ini, notasi ${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$ menyatakan norma Euklides.

Fungsi ${\displaystyle f}$ disebut sebagai integran, lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ adalah domain pengintegralan, dan simbol ${\displaystyle {\text{d}}s}$ dapat diartikan sebagai panjang busur dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (atau dengan kata lain, panjang diferensial dari ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$). Integral garis pada medan skalar di sepanjang lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tidak bergantung pada pemilihan parameterisasi fungsi ${\displaystyle {\vec {r}}}$ dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[2]

Saat ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ merupakan lintasan tertutup^[3], simbol ${\displaystyle {\phantom {.}}\oint _{\mathcal {C}}{\phantom {.}}}$ seringkali digunakan untuk menekankan bahwa lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup.

Secara geometris, saat medan skalar ${\displaystyle f}$ terdefinisi pada suatu bidang ${\displaystyle (n=2)}$, grafiknya merupakan suatu permukaan ${\displaystyle z=f\!\left(x,\,y\right)}$ pada ruang, dan integral garis memberikan luasan (bertanda) dari penampang lintang yang dibatasi oleh lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dan grafik fungsi ${\displaystyle f}$.

Integral garis pada medan skalar dapat dikonstruksikan dari jumlah Riemann menggunakan definisi dari fungsi ${\displaystyle f}$, lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, serta fungsi parameter ${\displaystyle {\vec {r}}}$ dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$ (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$) akan dipartisi menjadi ${\displaystyle n}$ selang bagian ${\displaystyle \left[t_{i-1},\,t_{i}\right]}$ dengan panjang yang sama, yaitu $${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$$ dengan ${\displaystyle i\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right\}}$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$ menyatakan vektor posisi dari titik ke-${\displaystyle i}$ pada selang ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$, dan $${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|{\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)-{\vec {r}}\!\left(t_{i-1}\right)\right|}$$ menyatakan panjang garis lurus yang menghubungkan ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i-1}\right)}$ dan ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$. Oleh karena ${\displaystyle f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)}$ menyatakan nilai fungsi ${\displaystyle f}$ (yang berupa skalar) pada titik ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$, maka ekspresi $${\displaystyle f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\,\Delta s_{i}}$$ dapat diartikan sebagai luas bertanda dari persegi panjang dengan tinggi ${\displaystyle f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)}$ dan lebar ${\displaystyle \Delta s_{i}}$. Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\vec {r}}'\!\left(t_{i}\right)\,\Delta t\right|&\approx \left|{\vec {r}}\!\left(t_{i}+\Delta t\right)-{\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right|\\&\approx \Delta s_{i}\end{aligned}}}$$ Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {C}}f\!\left({\vec {r}}\right)\,{\text{d}}s&=\lim _{\Delta s_{i}\,\to \,0}\sum _{i\,=\,1}^{n}f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\,\Delta s_{i}\\&=\lim _{\Delta t\,\to \,0}\sum _{i\,=\,1}^{n}f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\,\left|{\vec {r}}'\!\left(t_{i}\right)\,\Delta t\right|\\&=\lim _{\Delta t\,\to \,0}\sum _{i\,=\,1}^{n}f\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\,\left|{\vec {r}}'\!\left(t_{i}\right)\right|\Delta t\\&=\int _{a}^{b}f\!\left({\vec {r}}(t)\right)\,\left|{\vec {r}}'(t)\right|\,{\text{d}}t\end{aligned}}}$$

Diberikan suatu

1. Bilangan asli ${\displaystyle n}$
2. Himpunan ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, dan
3. Medan vektor ${\displaystyle {\vec {F}}\colon H\to \mathbb {R} ^{n}}$

Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset H}$ yang searah dengan ${\displaystyle {\vec {r}}}$ didefinisikan sebagai $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}=\int _{a}^{b}\left({\vec {F}}\!\left({\vec {r}}(t)\right)\cdot {\vec {r}}'(t)\right)\,{\text{d}}t}$$ dengan ${\displaystyle \cdot }$ menyatakan operasi darab bintik dan ${\displaystyle {\vec {r}}\colon \left[a,\,b\right]\to {\mathcal {C}}}$ adalah sembarang fungsi parameter reguler^[4] dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle {\vec {r}}(a)}$ dan ${\displaystyle {\vec {r}}(b)}$ adalah ujung dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dan ${\displaystyle a<b}$.

Berdasarkan definisi di atas, maka integral garis pada medan skalar merupakan integral garis pada medan vektor, dimana vektornya selalu menyinggung lintasan pengintegralan.

Integral garis pada medan vektor tidak bergantung pada parameterisasi ${\displaystyle {\vec {r}}}$ dalam nilai mutlak, namun bergantung pada orientasi kurva. Lebih tepatnya, nilai integral garisnya akan berganti tanda saat orientasi parameterisasinya dibalik.^[2]

Dengan menggunakan definisi dari fungsi ${\displaystyle {\vec {F}}}$, lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, serta fungsi parameter ${\displaystyle {\vec {r}}}$ dari lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, maka integral garis pada medan vektor dapat diturunkan dengan cara serupa seperti pada medan skalar, namun dengan tambahan operasi darab bintik. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$ (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$) akan dipartisi menjadi ${\displaystyle n}$ selang bagian ${\displaystyle \left[t_{i-1},\,t_{i}\right]}$ dengan panjang yang sama, yaitu $${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$$ dengan ${\displaystyle i\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right\}}$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$ menyatakan vektor posisi dari titik ke-${\displaystyle i}$ pada selang ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$, dan $${\displaystyle \Delta {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)-{\vec {r}}\!\left(t_{i-1}\right)}$$ menyatakan vektor perpindahan dari ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i-1}\right)}$ menuju ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$. Oleh karena ${\displaystyle {\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)}$ menyatakan nilai fungsi ${\displaystyle {\vec {F}}}$ (yang berupa vektor) pada titik ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)}$, maka ekspresi $${\displaystyle {\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\cdot \Delta {\vec {r}}_{i}}$$ dapat diartikan sebagai kontribusi dari nilai vektor ${\displaystyle {\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)}$ yang searah dengan vektor perpindahan ${\displaystyle \Delta {\vec {r}}_{i}}$. Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}'\!\left(t_{i}\right)\,\Delta t&\approx {\vec {r}}\!\left(t_{i}+\Delta t\right)-{\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\\&\approx \Delta {\vec {r}}_{i}\end{aligned}}}$$ Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {C}}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}&=\lim _{\Delta t\,\to \,0}\sum _{i\,=\,1}^{n}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\cdot \Delta {\vec {r}}_{i}\\&=\lim _{\Delta t\,\to \,0}\sum _{i\,=\,1}^{n}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t_{i}\right)\right)\cdot \Delta {\vec {r}}'\!\left(t_{i}\right)\,\Delta t\\&=\int _{a}^{b}\left({\vec {F}}\!\left({\vec {r}}(t)\right)\cdot {\vec {r}}'(t)\right)\,{\text{d}}t\end{aligned}}}$$

Jika suatu medan vektor ${\displaystyle {\vec {F}}}$ merupakan gradien dari suatu medan skalar ${\displaystyle G}$ (atau dengan kata lain, jika ${\displaystyle {\vec {F}}}$ merupakan medan vektor konservatif), yaitu $${\displaystyle {\vec {F}}=\nabla G}$$ maka menurut kaidah rantai peubah banyak, turunan dari komposisi dari ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ ialah $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}t}}G\!\left({\vec {r}}\!\left(t\right)\right)&=\nabla G\!\left({\vec {r}}\!\left(t\right)\right)\cdot {\vec {r}}'(t)\\&={\vec {F}}\left({\vec {r}}\!\left(t\right)\right)\cdot {\vec {r}}'(t)\end{aligned}}}$$ yang merupakan integran pada integral garis dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$. Lebih lanjut, jika diberikan suatu lintasan ${\displaystyle L}$, maka $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}&=\int _{a}^{b}\left({\vec {F}}\!\left({\vec {r}}(t)\right)\cdot {\vec {r}}'(t)\right)\,{\text{d}}t\\&=\int _{a}^{b}{\dfrac {\text{d}}{{\text{d}}t}}G\!\left({\vec {r}}\!\left(t\right)\right)\,{\text{d}}t\\&=G\!\left({\vec {r}}\!\left(b\right)\right)-G\!\left({\vec {r}}\!\left(a\right)\right)\end{aligned}}}$$

Dengan kata lain, integral dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$ di sepanjang lintasan ${\displaystyle L}$ hanya bergantung pada nilai ${\displaystyle G}$ pada titik ${\displaystyle {\vec {r}}(a)}$ dan ${\displaystyle {\vec {r}}(b)}$, dan tidak bergantung dengan lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hal inilah yang menjadi alasan medan vektor konservatif disebut sebagai bebas lintasan.

Integral garis sangat banyak digunakan pada bidang ilmu fisika. Sebagai contoh, besar usaha yang dilakukan suatu partikel yang melintasi suatu lintasan ${\displaystyle L}$ pada suatu medan gaya ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ialah nilai integral garis dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$ pada lintasan ${\displaystyle L}$.^[5]

Diberikan suatu

1. Himpunan ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$
2. Medan vektor ${\displaystyle {\vec {F}}\colon H\to \mathbb {R} ^{2}}$, dengan ${\displaystyle {\vec {F}}\!\left(x,\,y\right)={\begin{bmatrix}P\!\left(x,\,y\right)\\Q\!\left(x,\,y\right)\end{bmatrix}}}$
3. Lintasan ${\displaystyle L\subset H}$
4. Fungsi parameter mulus sesepenggal ${\displaystyle {\vec {r}}\colon \left[a,\,b\right]\to L}$, dengan ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t\right)={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}}$

Fluks dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$ di sepanjang lintasan ${\displaystyle L}$ didefinisikan sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}^{\perp }&=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P\!\left(x(t),\,y(t)\right)\\Q\!\left(x(t),\,y(t)\right)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}\,{\text{d}}t\\&=\int _{a}^{b}\left(P\!\left(x(t),\,y(t)\right)\,y'(t)-Q\!\left(x(t),\,y(t)\right)\,x'(t)\right)\,{\text{d}}t\\&=\int _{a}^{b}\left(P\,{\text{d}}y-Q\,{\text{d}}x\right)\end{aligned}}}$$ dengan ${\displaystyle \cdot }$ menyatakan operasi darab bintik dan ${\displaystyle {\text{d}}{\vec {r}}^{\perp }}$ menyatakan vektor normal yang searah jarum jam dari lintasan ${\displaystyle L}$.

Besar alirannya dihitung berdasarkan orientasi. Saat lintasan ${\displaystyle L}$ diparameterkan dari ${\displaystyle {\vec {r}}(a)}$ menuju ${\displaystyle {\vec {r}}(b)}$ (dengan ${\displaystyle a<b}$), maka alirannya dihitung positif ketika ${\displaystyle {\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\!\left(t\right)\right)}$ berada pada sisi yang searah dengan jarum jam dari vektor kecepatan ${\displaystyle {\vec {r}}\!\left(t\right)}$.

Dalam analisis kompleks, integral garis didefinisikan dalam bentuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan kompleks. Diberikan suatu

1. Himpunan terbuka ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {C} }$
2. Fungsi ${\displaystyle f\colon H\to \mathbb {C} }$
3. Lintasan ${\displaystyle L\subset H}$
4. Fungsi parameter ${\displaystyle \varphi \colon \left[a,\,b\right]\to L}$ dengan ${\displaystyle \varphi \!\left(t\right)=x(t)+iy(t)}$

Integral garis ${\displaystyle \int _{L}f(z)\,{\text{d}}z}$ dapat didefinisikan dengan mempartisi selang ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$ (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ${\displaystyle \varphi }$) menjadi ${\displaystyle n}$ selang bagian ${\displaystyle \left[t_{k-1},\,t_{k}\right]}$ dengan panjang yang sama, yaitu $${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$$ dengan ${\displaystyle k\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right\}}$. Serupa seperti konstruksi integral Riemann pada garis bilangan real, nilai integral garis ${\displaystyle \int _{L}f(z)\,{\text{d}}z}$ adalah limit dari jumlah Riemann $${\displaystyle \sum _{k\,=\,1}f\!\left(\varphi \!\left(t_{k}\right)\right)\,\Delta \varphi _{k}}$$ saat ${\displaystyle \Delta t}$ mendekati 0, dengan ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}=\varphi \!\left(t_{k}\right)-\varphi \!\left(t_{k-1}\right)}$

Jika turunan dari Fungsi parameter ${\displaystyle \varphi }$ bersifat kontinu (atau dengan kata lain, ${\displaystyle \varphi }$ merupakan fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu), maka integral garisnya dapat dicari dengan integral dari fungsi bernilai riil: $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,{\text{d}}z=\int _{L}f\!\left(\varphi \!\left(t\right)\right)\varphi '\!\left(t\right)\,{\text{d}}t}$$

Integral garis terhadap diferensial konjugat kompleks ${\displaystyle {\overline {{\text{d}}z}}}$ di sepanjang lintasan ${\displaystyle L\subset \mathbb {C} }$ didefinisikan sebagai^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z){\overline {{\text{d}}z}}&={\overline {\overline {\int _{L}f(z){\overline {{\text{d}}z}}}}}\\&={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)\,{\overline {{\text{d}}z}}}}}}\\&={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,{\text{d}}z}}\\\int _{L}f(z){\overline {{\text{d}}z}}&=\int _{L}f\!\left(\varphi \!\left(t\right)\right){\overline {\varphi '\!\left(t\right)\,{\text{d}}t}}\\&=\int _{L}f\!\left(\varphi \!\left(t\right)\right){\overline {\varphi '\!\left(t\right)}}\,{\text{d}}t\end{aligned}}}$$

Integral garis dari fungsi kompleks dapat dicari dengan beberapa metode. Cara yang paling lugas adalah dengan memecah integral garisnya menjadi bagian riil dan bagian imajiner, sehingga permasalahannya akan menjadi perhitungan dua integral garis bernilai riil. Teorema integral Cauchy dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan integral garis dari suatu fungsi holomorfik menjadi suatu integral garis yang lebih mudah untuk diselesaikan. Jika lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup dan terdapat titik singular pada daerah yang dilingkup oleh lintasan pengintegralannya, maka teorema residu dapat memberikan nilai integral garis yang hendak dicari berdasarkan titik singularnya.

Diberikan fungsi $${\displaystyle f(z)={\dfrac {1}{z}}}$$ dan kontur ${\displaystyle L}$ adalah lingkaran satuan yang berpusat pada ${\displaystyle 0}$ dan berlawanan arah jarum jam. Dengan menggunakan rumus Euler, maka lintasan ${\displaystyle L}$ dapat diparameterkan sebagai ${\displaystyle z(t)=e^{it}}$, dengan ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$. Akibatnya, $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\dfrac {1}{z}}\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{2\pi }{\dfrac {1}{e^{it}}}\cdot ie^{it}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{2\pi }i\,{\text{d}}t\\&=2\pi i\end{aligned}}}$$

Integral ini biasa digunakan sebagai langkah awal untuk membuktikan rumus integral Cauchy dan teorema residu.

Dengan memandang bilangan kompleks sebagai vektor berdimensi dua, integral garis dari fungsi bernilai kompleks ${\displaystyle f(z)}$ di sepanjang lintasan ${\displaystyle L}$ memiliki bagian riil dan imajiner (berturut-turut) sama dengan integral garis dan integral fluks dari medan vektor yang bersesuaian dengan fungsi konjugat kompleks ${\displaystyle {\overline {f(z)}}}$. Lebih tepatnya, jika

1. ${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}}$ memparameterkan lintasan ${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle f\!\left(x+iy\right)=u\!\left(x,\,y\right)+i\,v\!\left(x,\,y\right)}$, untuk suatu fungsi ${\displaystyle u\!\left(x,\,y\right)}$ dan ${\displaystyle v\!\left(x,\,y\right)}$

maka dengan memilih $${\displaystyle {\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)={\vec {F}}\!\left(x,\,y\right)={\overline {f\!\left(x+iy\right)}}={\begin{bmatrix}u\!\left(x,\,y\right)\\-v\!\left(x,\,y\right)\end{bmatrix}}}$$ diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,{\text{d}}z&=\int _{L}\left(u+iv\right)\left({\text{d}}x+i\,{\text{d}}y\right)\\&=\int _{L}\left(u\,{\text{d}}x-v\,{\text{d}}y\right)+i\int _{L}\left(u\,{\text{d}}y+v\,{\text{d}}x\right)\\&=\int _{L}{\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\end{bmatrix}}+i\int _{L}{\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\text{d}}y\\-{\text{d}}x\end{bmatrix}}\\&=\int _{L}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}+i\int _{L}{\vec {F}}\!\left({\vec {r}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}^{\perp }\end{aligned}}}$$

Berdasarkan teorema Cauchy, integral pada ruas kiri bernilai nol ketika ${\displaystyle f(z)}$ merupakan fungsi holomorfik (memenuhi persamaan Cauchy-Riemann) untuk sembarang lintasan mulus tertutup ${\displaystyle L}$. Menurut teorema Green, ruas kanan akan bernilai nol ketika medan vektor ${\displaystyle {\vec {F}}={\overline {f}}}$ tidak berolak (nilai kerul dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$ sama dengan nol) dan tidak termampatkan (nilai divergensi dari ${\displaystyle {\vec {F}}}$ sama dengan nol).

• (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Modul pembelajaran dari Khan Academy:
  • (Inggris)"Pengantar Integral Garis"
  • (Inggris)"Contoh 1 Integral Garis"
  • (Inggris)"Contoh 2 Integral Garis (bagian 1)"
  • (Inggris)"Contoh 2 Integral Garis (bagian 2)"
• (Inggris)Path integral di PlanetMath.
• (Inggris)Pengantar Integral Garis pada Medan Vektor