Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang suatu lintasan.[1] Istilah integral kontur juga digunakan, walau istilah tersebut lebih sering digunakan untuk Integral garis pada bidang kompleks.
Fungsi yang akan diintegralkan dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlahan dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya panjang busur, atau pada medan vektor, darab bintik dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu selang. Banyak rumus sederhana dalam fisika (seperti definisi usaha ) memiliki versi kontinu dalam bentuk integral garis (dalam kasus ini, menghitung besar usaha yang dilakukan suatu benda yang bergerak dalam medan listrik atau medan gravitasi pada lintasan ).
Kalkulus vektor
Secara kualitatif, integral garis pada kalkulus vektor dapat dipandang sebagai suatu ukuran efek keseluruhan dari suatu medan tensor di sepanjang lintasan tertentu. Sebagai contoh, integral garis pada medan skalar (tensor rank 0) dapat diartikan sebagai luas daerah dibawah medan yang diukir oleh suatu lintasan. Hal ini dapat divisualkan sebagai permukaan yang dibentuk oleh fungsi dan suatu lintasan pada bidang-xy. Melalui visualisasi ini, nilai integral garis dari ialah luasan dari "tirai" yang tercipta ketika titik-titik pada permukaan yang tepat di atas diukir.
Integral garis pada medan skalar
Integral garis pada medan skalar dapat dipandang sebagai luas daerah dibawah permukaan sepanjang lintasan
Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal didefinisikan sebagai dengan adalah sembarang fungsi parameter yang bersifat bijektif dari lintasan sedemikian sehingga dan adalah ujung dari lintasan dan . Pada keseluruhan artikel ini, notasi menyatakan norma Euklides.
Fungsi disebut sebagai integran, lintasan adalah domain pengintegralan, dan simbol dapat diartikan sebagai panjang busur dari lintasan (atau dengan kata lain, panjang diferensial dari ). Integral garis pada medan skalar di sepanjang lintasan tidak bergantung pada pemilihan parameterisasi fungsi dari lintasan .[2]
Saat merupakan lintasan tertutup[3], simbol seringkali digunakan untuk menekankan bahwa lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup.
Secara geometris, saat medan skalar terdefinisi pada suatu bidang , grafiknya merupakan suatu permukaan pada ruang, dan integral garis memberikan luasan (bertanda) dari penampang lintang yang dibatasi oleh lintasan dan grafik fungsi .
Penurunan rumus
Integral garis pada medan skalar dapat dikonstruksikan dari jumlah Riemann menggunakan definisi dari fungsi , lintasan , serta fungsi parameter dari lintasan . Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) akan dipartisi menjadi selang bagian dengan panjang yang sama, yaitu dengan . Perhatikan bahwa menyatakan vektor posisi dari titik ke- pada selang , dan menyatakan panjang garis lurus yang menghubungkan dan . Oleh karena menyatakan nilai fungsi (yang berupa skalar) pada titik , maka ekspresi dapat diartikan sebagai luas bertanda dari persegi panjang dengan tinggi dan lebar . Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka Akibatnya, diperoleh
Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal yang searah dengan didefinisikan sebagai dengan menyatakan operasi darab bintik dan adalah sembarang fungsi parameter reguler[4] dari lintasan sedemikian sehingga dan adalah ujung dari lintasan dan .
Berdasarkan definisi di atas, maka integral garis pada medan skalar merupakan integral garis pada medan vektor, dimana vektornya selalu menyinggung lintasan pengintegralan.
Integral garis pada medan vektor tidak bergantung pada parameterisasi dalam nilai mutlak, namun bergantung pada orientasi kurva. Lebih tepatnya, nilai integral garisnya akan berganti tanda saat orientasi parameterisasinya dibalik.[2]
Penurunan rumus
Lintasan sebuah partikel (yang berwarna merah) di sepanjang kurva pada medan vektor. Dimulai dari titik , partikelnya menelusuri lintasan di sepanjang medan vektor . Hasil darab bintik (garis hijau) dari vektor singgung (panah merah) dengan medan vektor (panah biru) membentuk suatu luas daerah di bawah kurva, yang merupakan integral garis dari lintasan tersebut.
Dengan menggunakan definisi dari fungsi , lintasan , serta fungsi parameter dari lintasan , maka integral garis pada medan vektor dapat diturunkan dengan cara serupa seperti pada medan skalar, namun dengan tambahan operasi darab bintik. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) akan dipartisi menjadi selang bagian dengan panjang yang sama, yaitu dengan . Perhatikan bahwa menyatakan vektor posisi dari titik ke- pada selang , dan menyatakan vektor perpindahan dari menuju . Oleh karena menyatakan nilai fungsi (yang berupa vektor) pada titik , maka ekspresi dapat diartikan sebagai kontribusi dari nilai vektor yang searah dengan vektor perpindahan. Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka Akibatnya, diperoleh
Bebas lintasan
Jika suatu medan vektor merupakan gradien dari suatu medan skalar (atau dengan kata lain, jika merupakan medan vektor konservatif), yaitu maka menurut kaidah rantai peubah banyak, turunan dari komposisi dari dan ialah yang merupakan integran pada integral garis dari . Lebih lanjut, jika diberikan suatu lintasan , maka
Dengan kata lain, integral dari di sepanjang lintasan hanya bergantung pada nilai pada titik dan , dan tidak bergantung dengan lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hal inilah yang menjadi alasan medan vektor konservatif disebut sebagai bebas lintasan.
Penerapan
Integral garis sangat banyak digunakan pada bidang ilmu fisika. Sebagai contoh, besar usaha yang dilakukan suatu partikel yang melintasi suatu lintasan pada suatu medan gaya ialah nilai integral garis dari pada lintasan.[5]
Fluks dari di sepanjang lintasan didefinisikan sebagai dengan menyatakan operasi darab bintik dan menyatakan vektor normal yang searah jarum jam dari lintasan .
Besar alirannya dihitung berdasarkan orientasi. Saat lintasan diparameterkan dari menuju (dengan ), maka alirannya dihitung positif ketika berada pada sisi yang searah dengan jarum jam dari vektor kecepatan .
Integral garis dapat didefinisikan dengan mempartisi selang (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) menjadi selang bagian dengan panjang yang sama, yaitu dengan . Serupa seperti konstruksi integral Riemann pada garis bilangan real, nilai integral garis adalah limit dari jumlah Riemann saat mendekati 0, dengan
Integral garis terhadap diferensial konjugat kompleks di sepanjang lintasan didefinisikan sebagai[6]
Integral garis dari fungsi kompleks dapat dicari dengan beberapa metode. Cara yang paling lugas adalah dengan memecah integral garisnya menjadi bagian riil dan bagian imajiner, sehingga permasalahannya akan menjadi perhitungan dua integral garis bernilai riil. Teorema integral Cauchy dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan integral garis dari suatu fungsi holomorfik menjadi suatu integral garis yang lebih mudah untuk diselesaikan. Jika lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup dan terdapat titik singular pada daerah yang dilingkup oleh lintasan pengintegralannya, maka teorema residu dapat memberikan nilai integral garis yang hendak dicari berdasarkan titik singularnya.
Contoh
Diberikan fungsi dan kontur adalah lingkaran satuan yang berpusat pada dan berlawanan arah jarum jam. Dengan menggunakan rumus Euler, maka lintasan dapat diparameterkan sebagai , dengan . Akibatnya,
Integral ini biasa digunakan sebagai langkah awal untuk membuktikan rumus integral Cauchy dan teorema residu.
Hubungan antara integral garis fungsi kompleks dengan integral garis pada medan vektor
Dengan memandang bilangan kompleks sebagai vektor berdimensi dua, integral garis dari fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan memiliki bagian riil dan imajiner (berturut-turut) sama dengan integral garis dan integral fluks dari medan vektor yang bersesuaian dengan fungsi konjugat kompleks. Lebih tepatnya, jika
Berdasarkan teorema Cauchy, integral pada ruas kiri bernilai nol ketika merupakan fungsi holomorfik (memenuhi persamaan Cauchy-Riemann) untuk sembarang lintasan mulus tertutup . Menurut teorema Green, ruas kanan akan bernilai nol ketika medan vektor tidak berolak (nilai kerul dari sama dengan nol) dan tidak termampatkan (nilai divergensi dari sama dengan nol).
^Kwong-Tin Tang (30 November 2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms [Metode Matematis untuk Insinyur dan Ilmuwan 2: Analisis Vektor, Persamaan Diferensial Biasa, dan Transformasi Laplace] (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
^ abNykamp, Duane. "Line integrals are independent of parametrization" [Integral garis tidak bergantung pada parameterisasi]. Math Insight (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal September 18, 2020.