Krzywa łańcuchowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Catenary-pm.svg/350px-Catenary-pm.svg.png)
Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie[1] (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym[2][3][4].
Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego[5]:
Wyprowadzenie równania
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Krzywa_%C5%82a%C5%84cuchowa.jpg/350px-Krzywa_%C5%82a%C5%84cuchowa.jpg)
Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk podlega działaniom trzech sił i gdzie:
- – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
- – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
- – ciężar łuku krzywej.
Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:
Wektory są ortogonalne, więc oznaczając przez kąt między wektorami dostaje się
Ciężar łuku wynosi
gdzie:
- – długość łuku
- – ciężar jednostki długości.
Stąd
Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:
- gdzie
Różniczkując je względem otrzymujemy
i wykorzystując zależność dostaje się:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi
Podstawiając:
otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:
Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:
Następnie wraca się do podstawienia:
Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie
Zastosowania
Liny wiszące
Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).
Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość minimalne zawieszenie i maksymalne zawieszenie W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.
- Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale jest równa:
skąd otrzymuje się zależność:
- Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:
czyli:
Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:
co daje przybliżoną zależność:
- W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina:
Dla dostatecznie dużej wartości (dla małej wartości ) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:
Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.
Stropy
Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:
Historia
Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.
W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.
Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditorium[6]. Huygens zaproponował nazwę, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Linę taką definiuje się także jako łańcuch zbudowany z nieskończenie wielu i nieskończenie krótkich doskonale sztywnych ogniw nie wykazujących tarcia na łączeniach ogniw.
- ↑ J.Hajduk, J.Osiecki, Ustroje cięgnowe – teoria i obliczanie, WNT, Warszawa 1970.
- ↑ G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
- ↑ Д.Р. Меркин, Введене в механикү гибкой нити, Издат. „Наүка”, Москва 1980.
- ↑ krzywa łańcuchowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-06-20] .
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 109.
Bibliografia
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Linki zewnętrzne
- portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
- Wyliczanie krzywej łańcuchowej dla układu mas punktowych połączonych sprężynami lub sztywnymi drążkami. fatcat.ftj.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-10-09)].
- Catenary plot
- the gateway arch is not a parabola
- Hanging With Galileo
- Catenary plot and history
- p
- d
- e
algebraiczne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
przestępne |
| ||||||
krzywe tworzące wykresy |
| ||||||
powiązane tematy |
- Britannica: topic/catenary
- DSDE: kædelinje