Funkcja kwadratowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/AndraGrad-4.png/220px-AndraGrad-4.png)
Funkcja kwadratowa, funkcja stopnia drugiego[1] – typ funkcji matematycznej o co najmniej dwóch równoważnych definicjach[2]:
- gdzie są pewnymi stałymi, przy czym [a];
- gdzie również są dowolnymi stałymi.
Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy[3], a drugi jako postać kanoniczna[4]. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji.
Dziedziną funkcji kwadratowej mogą być liczby rzeczywiste, co przy rzeczywistych współczynnikach daje też rzeczywisty zbiór wartości: . Przez to za przeciwdziedzinę można przyjąć oś rzeczywistą lub jej podzbiór; taka funkcja jest przykładem funkcji rzeczywistej, a jej wykresem jest parabola[2]. Funkcje kwadratowe można też definiować dla argumentów zespolonych i z innych zbiorów z działaniami dodawania i mnożenia; algebra abstrakcyjna nazywa część takich struktur ciałami, pierścieniami i półpierścieniami, zależnie od własności tych działań.
Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji[5] – rozkład na czynniki liniowe[6]. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.
Uogólnienia funkcji kwadratowych to:
- funkcje wielomianowe[b] wyższych stopni – funkcja kwadratowa ma stopień dwa[1];
- formy kwadratowe – można je traktować jako funkcje wielu zmiennych.
Postacie funkcji kwadratowej
Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna
Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:
co daje wzory[7]:
Wyrażenie (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej [7]. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:
Postać kanoniczna ułatwia określenie wykresu.
Miejsca zerowe
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Quadratic_equation_discriminant.png/220px-Quadratic_equation_discriminant.png)
Główny artykuł: Równanie kwadratowe.
W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika ()[7], co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:
Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika[c]. W przypadku nieujemnym () otrzymuje się:
Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:
- dodatni (), to miejsca zerowe są dwa[7]:
- zerowy (), to miejsce zerowe jest jedno[7]:
- jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcję[8];
- ujemny (), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych[7].
W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika () jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: . To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji () są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone[9].
Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory[7]:
Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem[10]:
To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego ()[11]:
Postać iloczynowa
Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci[7]:
W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny[7] () – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny (), to
gdzie jest jednostką urojoną[9].
Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów ():
Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:
Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Quadratic_equation_coefficients.png/220px-Quadratic_equation_coefficients.png)
Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ma wykres – w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej jest nim parabola[7]. Jej wierzchołkiem jest punkt gdzie są dane jw.[7], który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor względem początku układu współrzędnych.
Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).
We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:
- każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi
- daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi jeżeli to są one skierowane przeciwnie[7],
- zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
- zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem jeżeli lub przeciwnie do niego, jeżeli
- parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy lub przeciwnie do niego, gdy
Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:
to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem względem paraboli będącej wykresem jest równa[potrzebny przypis]:
Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych
Zobacz też: przebieg zmienności funkcji.
Niżej zakłada się rzeczywistą dziedzinę i przeciwdziedzinę:
Własności ogólne
- Funkcja jest parzysta wyłącznie dla
- nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa;
- monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale po czym rośnie (maleje) w przedziale dla
- ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
- przez to zbiorem wartości jest przedział:
- dla ;
- dla ;
- wypukłość: wypukła dla i wklęsła dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
- punkty przegięcia: brak.
Własności analityczne
- Brak asymptot;
- ciągłość w całej dziedzinie;
- różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne:
- dla
- oznacza to, że funkcja jest gładka;
Przypadek dziedziny zespolonej
Funkcja kwadratowa gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:
Punktami stałymi tego odwzorowania są oraz [12].
Przykłady i zastosowania
Geometria
- Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
- Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
- Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
- Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
Inne działy matematyki
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/First_six_triangular_numbers.svg/220px-First_six_triangular_numbers.svg.png)
- Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych liczb naturalnych, zwane liczbami trójkątnymi[potrzebny przypis].
- Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową[potrzebny przypis].
Fizyka
- W kinematyce:
- dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
- przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
- W dynamice:
- rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola;
- dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości;
- energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu;
- energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.
Zobacz też
![]() | Zobacz publikację Funkcja kwadratowa w Wikibooks |
![]() | Zobacz galerię związaną z tematem: Funkcja kwadratowa |
- ciąg Eulera
- jednorodna funkcja kwadratowa
- metoda Simpsona
- równanie dwukwadratowe
- zbiór Julii
- zbiór Mandelbrota
Uwagi
- ↑ oznacza to, że do funkcji kwadratowych nie zalicza się funkcji liniowych.
- ↑ Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce[potrzebny przypis].
- ↑ tę zgodność można zapisać za pomocą funkcji signum:
Przypisy
- ↑ a b Żakowski 1972 ↓, s. 78.
- ↑ a b funkcja kwadratowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .
- ↑ trójmian kwadratowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .
- ↑
Tomasz Wójtowicz, Wzór funkcji kwadratowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].
- ↑
Jolanta Schilling, Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-15].
- ↑ Babiański, Chańko i Wej 2022 ↓, s. 312.
- ↑ a b c d e f g h i j k l Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 4, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Babiański, Chańko i Wej 2022 ↓, s. 308.
- ↑ a b Żakowski 1972 ↓, s. 252.
- ↑ Królikowski i Steckiewicz 1964 ↓, s. 85.
- ↑ Babiański, Chańko i Wej 2022 ↓, s. 314.
- ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 636.
Bibliografia
- Wojciech Babiański, Lech Chańko, Karolina Wej: Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Warszawa: Wydawnictwo Nowa Era, 2022. ISBN 978-83-267-3486-1.
- Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz: Matematyka. Wzory, definicje i tablice. Wyd. VIII poprawione. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1964.
- Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
- Wojciech Żakowski: funkcja stopnia drugiego, równanie kwadratowe [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.
Literatura dodatkowa
- Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne
Nagrania kanału Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-01-15]:
- Piotr Stachura, Rysowanie paraboli w postaci kanonicznej – ćwiczenie, 25 sierpnia 2014;
- Piotr Stachura, Wykres funkcji kwadratowej: przesuwanie i skalowanie, 27 sierpnia 2014;
- Piotr Stachura, Dopełnienie do kwadratu – postać kanoniczna funkcji kwadratowej, 25 września 2014;
- Piotr Stachura, Różne postacie funkcji kwadratowej, 17 grudnia 2014;
- Piotr Stachura, W szponach hazardu – zadanie o prawdopodobieństwie z nierównością kwadratową, 28 marca 2015;
- Piotr Stachura, Komary w Białowieży – zadanie z funkcją kwadratową , 23 kwietnia 2015;
- Piotr Stachura, Maksimum funkcji kwadratowej – przykład , 20 grudnia 2015;
- Piotr Stachura, Porównywanie własności funkcji kwadratowych, 26 marca 2017;
- Krzysztof Kwiecień, Postać iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie tekstowe, 14 czerwca 2018.
- Krzysztof Kwiecień, Wprowadzenie do funkcji kwadratowych zapisanych w postaci wierzchołkowej (kanonicznej), 23 czerwca 2018;
- p
- d
- e
- p
- d
- e
algebraiczne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
przestępne |
| ||||||
krzywe tworzące wykresy |
| ||||||
powiązane tematy |
- p
- d
- e
pojęcia definiujące | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
typy | |||||||
pojęcia podstawowe | |||||||
opis algebraiczny |
| ||||||
opis parametryczny |
| ||||||
występowanie |
| ||||||
powiązane powierzchnie |
| ||||||
nawiązujące pojęcia |
| ||||||
uogólnienia | |||||||
badacze |
- PWN: 3929540