Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe – równanie określające zależność pomiędzy nieznaną funkcją a jej pochodnymi[1].
Równania różniczkowe można podzielić na:
- równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej,
- równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych.
Przykład
Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego polega na znalezieniu takiej funkcji która spełnia to równanie. Np. równanie różniczkowe
gdzie oznacza drugą pochodną względem ma ogólne rozwiązanie w postaci
i - stałe, które wyznacza się na podstawie warunków początkowych lub warunków brzegowych.
Metody rozwiązywania równań różniczkowych
Istnieją metody analityczne rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów. Jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć).
W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, w zastosowaniach wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego, np. stosując metodę aproksymacji. Efektywnego sposobu rozwiązań równań różniczkowych dostarczają metody numeryczne, np. metoda Rungego-Kutty.
Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Na wielu uniwersytetach są specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.
Oprogramowanie
Dostępne jest oprogramowanie, za pomocą którego można znajdować rozwiązania równań różniczkowych:
Płatne:
- Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych.
- Maple[2], aplikacja do obliczeń symbolicznych.
- MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).
Bezpłatne:
- Maxima, system algebry komputerowej.
- SageMath.[3]
- SymPy - biblioteka Pythona o otwartym kodzie źródłowym do obliczeń symbolicznych.
- Xcas[4]
Przykłady równań różniczkowych w matematyce i fizyce
Matematyka:
- równanie Laplace’a opisujące harmoniki
- równanie Poissona
Mechanika klasyczna:
Teoria fal:
Fizyka jądrowa:
Mechanika płynów:
- równanie Naviera-Stokesa
- równanie Poissona-Boltzmanna
Termodynamika:
Teoria grawitacji:
- równania Einsteina Ogólnej Teorii Względności
- równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
Mechanika kwantowa:
Zobacz też
Zobacz multimedia związane z tematem: Równania różniczkowe |
Zobacz publikację Układy równań różniczkowych w Wikibooks |
- metoda Eulera
- rachunek różniczkowy i całkowy
- równanie różniczkowe zupełne
- zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
- hydrointegrator
Bibliografia
- I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2010, str. 509-549 - równania różniczkowe zwyczajne, 549-573 - równania różniczkowe cząstkowe.
- R. S. Guter, A. R. Janpolski, Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980.
- W.I. Smirnow, Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, str. 7-165 - równania różniczkowe zwyczajne oraz 464-607 - równania różniczkowe cząstkowe.
Przypisy
- ↑ Równania różniczkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ dsolve - Maple Programming Help [online], www.maplesoft.com [dostęp 2020-05-12] .
- ↑ Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0 [online], doc.sagemath.org [dostęp 2020-05-12] .
- ↑ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf
Linki zewnętrzne
- Sabine Hossenfelder, What are Differential Equations and how do they work? (ang.), kanał autorski na YouTube, 3 października 2020 [dostęp 2023-06-08].
- Grant Sanderson, Differential equations, kanał 3blue1brown na YouTube, [dostęp 2021-03-15] – seria filmów o podstawach równań różniczkowych.
- p
- d
- e
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa |
| ||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- PWN: 3969622
- Britannica: topic/differential-equation
- Universalis: equations-differentielles
- SNL: differensialligning
- DSDE: differentialligning